Numerische Ephemeridenrechnung
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Mathematisches Verfahren, Konstanten, Reihen und sprachübergreifende Validierung
Version 0.5.3 - 25. Juli 2026


Zusammenfassung
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Der beschriebene Rechenkern berechnet scheinbare topozentrische Ephemeriden von
Asteroiden, Kometen und interstellaren Objekten aus oskulierenden Bahnelementen.
Elliptische, parabolische und hyperbolische Anfangszustände werden ohne externen
Orbitdienst behandelt. Die anschließende numerische Integration berücksichtigt
solare Gravitation, die erste relativistische Korrektur, Planeten, Erde und
Mond, Erd-J2, optional 16 massereiche Asteroiden sowie Marsden-A1/A2/A3.
Planeten- und Asteroidenzustände werden mit kubischer Hermite-Interpolation aus
kompakten Tabellen gewonnen.

Die beobachtete Richtung entsteht nach UTC-nach-TDB-Näherung, Lichtlaufzeit,
Erdrotation, Nutation und Präzession. Sechs Extremobjekte mit 20 eingefrorenen
JPL-Horizons-Zeilen bilden den gemeinsamen Abnahmetest aller 49 eigenständigen
Zielprogramme.

1. Fachbegriffe und Symbole
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Alle Fachbegriffe und Abkürzungen, die für das Verständnis der folgenden
Rechnung erforderlich sind, werden hier zusammenhängend erklärt. Bei der ersten
Verwendung besonders wichtiger Begriffe folgt zusätzlich eine kurze Erklärung im
Fließtext.

Glossar der astronomischen und numerischen Fachbegriffe.
Spalten: Fachbegriff | Bedeutung in diesem Artikel
Zeile: Fachbegriff=Ephemeride | Bedeutung in diesem Artikel=Vorausberechnete
       Folge von Himmelspositionen und ergänzenden Größen für festgelegte
       Zeitpunkte und einen Beobachtungsort.
Zeile: Fachbegriff=scheinbar | Bedeutung in diesem Artikel=Bezeichnet hier die
       Richtung nach Lichtlaufzeit, Erdrotation, Nutation und Präzession;
       atmosphärische Refraktion ist nicht Teil dieses Rechenkerns.
Zeile: Fachbegriff=topozentrisch | Bedeutung in diesem Artikel=Auf den
       wirklichen Standort des Beobachters auf oder nahe der Erdoberfläche
       bezogen, nicht auf den Erdmittelpunkt.
Zeile: Fachbegriff=geozentrisch / heliozentrisch | Bedeutung in diesem
       Artikel=Geozentrisch bedeutet auf den Erdmittelpunkt, heliozentrisch auf
       den Sonnenmittelpunkt bezogen.
Zeile: Fachbegriff=Baryzentrum | Bedeutung in diesem Artikel=Gemeinsamer
       Massenschwerpunkt mehrerer Körper; EMB bezeichnet das
       Erde-Mond-Baryzentrum.
Zeile: Fachbegriff=oskulierende Bahnelemente | Bedeutung in diesem Artikel=Sechs
       Elemente einer momentanen Keplerbahn, die Ort und Geschwindigkeit der
       tatsächlich gestörten Bahn an einer Epoche berührt.
Zeile: Fachbegriff=Epoche | Bedeutung in diesem Artikel=Zeitpunkt, für den
       Bahnelemente oder ein Zustandsvektor gelten.
Zeile: Fachbegriff=Kegelschnitt | Bedeutung in diesem Artikel=Ellipse, Parabel
       oder Hyperbel; die Exzentrizität e unterscheidet die drei Bahnformen.
Zeile: Fachbegriff=Exzentrizität e | Bedeutung in diesem Artikel=Dimensionsloser
       Formparameter: e<1 Ellipse, e=1 Parabel und e>1 Hyperbel.
Zeile: Fachbegriff=q, Tp, i, Ω, ω | Bedeutung in diesem Artikel=Periheldistanz,
       Perihelzeit, Bahnneigung, Länge des aufsteigenden Knotens und Argument
       des Perihels.
Zeile: Fachbegriff=M, E, H, ν | Bedeutung in diesem Artikel=Mittlere,
       exzentrische, hyperbolische und wahre Anomalie; Winkel beziehungsweise
       Hilfsgröße für die Position auf der Bahn.
Zeile: Fachbegriff=J2000 | Bedeutung in diesem Artikel=In diesem Kern die feste
       äquatoriale Bezugsorientierung zur Standardepoche JD 2451545.0.
Zeile: Fachbegriff=AE | Bedeutung in diesem Artikel=Astronomische Einheit; exakt
       149597870,7 Kilometer.
Zeile: Fachbegriff=JD | Bedeutung in diesem Artikel=Julianisches Datum, eine
       fortlaufende astronomische Tageszählung.
Zeile: Fachbegriff=UTC / TAI / TDB | Bedeutung in diesem Artikel=Koordinierte
       Weltzeit, Internationale Atomzeit und baryzentrische dynamische Zeit; UTC
       enthält Schaltsekunden, TDB dient der Dynamik.
Zeile: Fachbegriff=Schaltsekunde | Bedeutung in diesem Artikel=Ganzzahlige
       Korrektur, die UTC an die ungleichmäßige Erdrotation bindet, während TAI
       gleichmäßig fortläuft.
Zeile: Fachbegriff=Gravitationsparameter μ | Bedeutung in diesem Artikel=Produkt
       G·M aus Gravitationskonstante und Körpermasse. μ⊙ bezeichnet den
       Sonnenwert, μE den Erdwert.
Zeile: Fachbegriff=Massenverhältnis ηb | Bedeutung in diesem Artikel=Verhältnis
       Mb/M⊙ eines Störkörpers zur Sonne; gleichbedeutend mit μb/μ⊙.
Zeile: Fachbegriff=Störkörper | Bedeutung in diesem Artikel=Körper, dessen
       Gravitation die reine Zweikörperbahn zusätzlich beschleunigt.
Zeile: Fachbegriff=direkter und indirekter Term | Bedeutung in diesem
       Artikel=Direkt wirkt der Störkörper auf das Objekt; indirekt wird die
       gleichzeitige Beschleunigung des heliozentrischen Ursprungs abgezogen.
Zeile: Fachbegriff=N16 | Bedeutung in diesem Artikel=Optionaler Satz der 16
       massereichsten Asteroiden, deren Störungen zusätzlich integriert werden.
Zeile: Fachbegriff=kubische Hermite-Interpolation | Bedeutung in diesem
       Artikel=Polynominterpolation dritten Grades, die an beiden Tabellenknoten
       Position und Geschwindigkeit exakt übernimmt.
Zeile: Fachbegriff=Little-Endian float64 | Bedeutung in diesem
       Artikel=Binärformat mit dem niederwertigsten Byte zuerst und
       64-Bit-Gleitkommazahlen nach IEEE 754.
Zeile: Fachbegriff=Runge-Kutta-Verfahren | Bedeutung in diesem
       Artikel=Einschrittverfahren, das mehrere Beschleunigungsauswertungen
       kombiniert, um den Zustand über einen Zeitschritt fortzuschreiben.
Zeile: Fachbegriff=eingebettetes Verfahren | Bedeutung in diesem Artikel=Zwei
       Runge-Kutta-Lösungen verschiedener Ordnung benutzen dieselben Stufen;
       ihre Differenz schätzt den lokalen Fehler.
Zeile: Fachbegriff=Dormand-Prince 5(4) | Bedeutung in diesem
       Artikel=Eingebettetes Runge-Kutta-Paar fünfter und vierter Ordnung mit
       sieben Stufen.
Zeile: Fachbegriff=Butcher-Tafel | Bedeutung in diesem Artikel=Tabellarische
       Anordnung der Runge-Kutta-Koeffizienten ci, aij und bi; sie legt
       Stufenzeitpunkte, Zwischenzustände und Endgewichte vollständig fest.
Zeile: Fachbegriff=lokaler Fehler | Bedeutung in diesem Artikel=Geschätzter
       Fehler eines einzelnen Integrationsschritts, hier aus der Differenz der
       Lösungen fünfter und vierter Ordnung.
Zeile: Fachbegriff=adaptive Schrittweite | Bedeutung in diesem
       Artikel=Automatische Verkleinerung oder Vergrößerung des Zeitschritts
       anhand der normierten Fehlerschätzung.
Zeile: Fachbegriff=RMS | Bedeutung in diesem Artikel=Quadratischer Mittelwert;
       hier die Wurzel aus dem Mittel der sechs quadrierten, skalierten
       Komponentenfehler.
Zeile: Fachbegriff=clamp | Bedeutung in diesem Artikel=Begrenzung eines
       Zahlenwerts auf ein geschlossenes Minimum-Maximum-Intervall.
Zeile: Fachbegriff=Lichtlaufzeit | Bedeutung in diesem Artikel=Zeit, die das
       Licht vom Objekt zum Beobachter benötigt; sie verschiebt die ausgewertete
       Emissionszeit.
Zeile: Fachbegriff=Präzession / Nutation | Bedeutung in diesem Artikel=Langsame
       säkulare beziehungsweise kürzerperiodische Änderung der Orientierung der
       Erdachse.
Zeile: Fachbegriff=GMST | Bedeutung in diesem Artikel=Mittlere
       Greenwich-Sternzeit, also der aus UTC abgeleitete Rotationswinkel der
       Erde relativ zum mittleren Himmelsbezug.
Zeile: Fachbegriff=Erd-J2 | Bedeutung in diesem Artikel=Führender Koeffizient
       der Abplattung des Erdschwerefelds gegenüber einer idealen Punktmasse.
Zeile: Fachbegriff=Marsden A1/A2/A3 | Bedeutung in diesem Artikel=Empirische
       nichtgravitative Beschleunigungen eines Kometen in radialer,
       transversaler und normaler Richtung.
Zeile: Fachbegriff=RA / Deklination | Bedeutung in diesem Artikel=Rektaszension
       und Deklination; das äquatoriale Koordinatenpaar der scheinbaren
       Himmelsrichtung.
Zeile: Fachbegriff=MPC-ρ-Faktoren | Bedeutung in diesem Artikel=Vom Minor Planet
       Center verwendete dimensionslose Stationsfaktoren für Abstand von
       Erdachse und Äquatorebene.
Zeile: Fachbegriff=Bogensekunde | Bedeutung in diesem Artikel=1/3600 Grad; das
       Zeichen ″ kennzeichnet diese Winkeleinheit.
Zeile: Fachbegriff=Referenzephemeride / Residuum | Bedeutung in diesem
       Artikel=Vergleichsposition aus JPL Horizons beziehungsweise der
       verbleibende sphärische Winkelabstand zur Kernrechnung.
Zeile: Fachbegriff=Kovarianzfortpflanzung | Bedeutung in diesem
       Artikel=Fortrechnung statistischer Unsicherheiten und Korrelationen einer
       Bahnlösung; sie gehört nicht zum dokumentierten Nominalkern.
Zeile: Fachbegriff=Abnahmetest | Bedeutung in diesem Artikel=Festgelegter
       Vergleich, dessen Grenzwert ein Port für die Freigabe einhalten muss.

Die Symbole μ⊙ und μE werden im gesamten Artikel eindeutig unterschieden.
Spalten: Symbol | Bedeutung | Wert oder Einheit
Zeile: Symbol=μ⊙ = G·M⊙ | Bedeutung=Heliozentrischer Gravitationsparameter der
       Sonne | Wert oder Einheit=0.0002959122082855911 AE³/Tag²
Zeile: Symbol=μE = G·ME | Bedeutung=Geozentrischer Gravitationsparameter der
       Erde | Wert oder Einheit=8.887692445125148326e-10 AE³/Tag²
Zeile: Symbol=μMond = G·MMond | Bedeutung=Gravitationsparameter des Mondes |
       Wert oder Einheit=1.09318946230584718e-11 AE³/Tag²
Zeile: Symbol=ηb = μb/μ⊙ | Bedeutung=Massenverhältnis eines Störkörpers b zur
       Sonne | Wert oder Einheit=dimensionslos
Zeile: Symbol=r, v, a | Bedeutung=Orts-, Geschwindigkeits- und
       Beschleunigungsvektor | Wert oder Einheit=AE; AE/Tag; AE/Tag²
Zeile: Symbol=t0, Tp, Δ | Bedeutung=Elementepoche, Perihelzeit und Differenz
       t0−Tp | Wert oder Einheit=JD beziehungsweise Tage
Zeile: Symbol=q, a, p, e | Bedeutung=Periheldistanz, große Halbachse,
       Bahnparameter und Exzentrizität | Wert oder Einheit=AE beziehungsweise
       dimensionslos
Zeile: Symbol=M, E, H, ν | Bedeutung=Mittlere, exzentrische, hyperbolische und
       wahre Anomalie | Wert oder Einheit=Radiant
Zeile: Symbol=Ω, ω, i | Bedeutung=Knotenlänge, Perihelargument und Inklination |
       Wert oder Einheit=Grad bei Eingabe, intern Radiant
Zeile: Symbol=c | Bedeutung=Lichtgeschwindigkeit | Wert oder
       Einheit=173.144632674240 AE/Tag
Zeile: Symbol=ρ | Bedeutung=Topozentrischer Objektvektor beziehungsweise im
       J2-Abschnitt Erdabstand | Wert oder Einheit=AE
Zeile: Symbol=J2, RE | Bedeutung=Erdabplattungskoeffizient und Äquatorradius |
       Wert oder Einheit=dimensionslos beziehungsweise AE
Zeile: Symbol=A1, A2, A3 | Bedeutung=Nichtgravitative Marsden-Parameter | Wert
       oder Einheit=AE/Tag²
Zeile: Symbol=T | Bedeutung=Julianische Jahrhunderte seit J2000 | Wert oder
       Einheit=dimensionslos

2. Konventionen, μ und Grundgrößen
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Der dynamische Zustand y=[x,y,z,vx,vy,vz] ist heliozentrisch, rechtshändig und
auf das äquatoriale J2000-System bezogen. Positionen sind AE, Geschwindigkeiten
AE/Tag, Beschleunigungen AE/Tag². Interne Winkel sind Radiant. Bahnelemente,
geographische Eingaben und Ergebniswinkel sind Grad.

Das Symbol μ bezeichnet grundsätzlich einen Gravitationsparameter μ=G·M, also
das Produkt aus Gravitationskonstante G und Masse M. Ohne Körperindex wurde es
in älteren Fassungen missverständlich für die Sonne verwendet. Dieser Artikel
schreibt deshalb immer μ⊙=G·M⊙ für die Sonne und μE=G·ME für die Erde. Für einen
Störkörper b gilt ηb=μb/μ⊙=Mb/M⊙.

Spalten: Symbol | Exakter Wert | Einheit
Zeile: Symbol=π | Exakter Wert=3.141592653589793238462643383279502884 |
       Einheit=dimensionslos
Zeile: Symbol=AE | Exakter Wert=149597870.7 | Einheit=km
Zeile: Symbol=μ⊙ = G·M⊙ | Exakter Wert=0.0002959122082855911 | Einheit=AE³/Tag²
Zeile: Symbol=μE = G·ME | Exakter Wert=8.887692445125148326e-10 |
       Einheit=AE³/Tag²
Zeile: Symbol=μMond = G·MMond | Exakter Wert=1.09318946230584718e-11 |
       Einheit=AE³/Tag²
Zeile: Symbol=Lichtgeschwindigkeit | Exakter Wert=173.144632674240 |
       Einheit=AE/Tag
Zeile: Symbol=Lichtlaufzeit | Exakter Wert=0.0057755183 | Einheit=Tag/AE
Zeile: Symbol=Masse Erde/Sonne | Exakter Wert=3.0034896149156e-6 |
       Einheit=dimensionslos
Zeile: Symbol=Masse Mond/Sonne | Exakter Wert=3.6943033497651e-8 |
       Einheit=dimensionslos
Zeile: Symbol=Erdradius | Exakter Wert=6378.1363 / 149597870.7 | Einheit=AE
Zeile: Symbol=J2 Erde | Exakter Wert=1.08262668e-3 | Einheit=dimensionslos
Zeile: Symbol=Schiefe J2000 | Exakter Wert=84381.448 | Einheit=Bogensekunden

3. Anfangszustand aus oskulierenden Elementen
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Eingaben sind Epoche t0, Exzentrizität e, Periheldistanz q, Perihelzeit Tp,
Knoten Ω, Perihelargument ω und Inklination i. Oskulierend bedeutet, dass diese
Elemente an der Epoche dieselbe Position und Geschwindigkeit wie die gestörte
Bahn darstellen. Mit μ⊙=G·M⊙ und Δ=t0−Tp wird zuerst die wahre Anomalie ν
bestimmt.

3.1 Ellipse
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    Gültigkeit: e < 1 - 1e-8
    a = q / (1 - e)
    n = sqrt(μ⊙ / a^3)
    M = normalize(n Δ, -π, +π)
    E0 = M                    für e < 0.8
    E0 = sign(M) π            sonst
    Ek+1 = Ek - (Ek - e sin Ek - M) / (1 - e cos Ek)
    Abbruch: |Korrektur| < 2e-14 oder nach 80 Iterationen
    ν = 2 atan2(sqrt(1+e) sin(E/2), sqrt(1-e) cos(E/2))

3.2 Hyperbel
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    Gültigkeit: e > 1 + 1e-8
    a = q / (e - 1)                    (positive Betragskonvention)
    M = sqrt(μ⊙ / a^3) Δ
    H0 = asinh(M / e)
    Hk+1 = Hk - (e sinh Hk - Hk - M) / (e cosh Hk - 1)
    Abbruch: |Korrektur| < 2e-14 oder nach 80 Iterationen
    ν = 2 atan2(sqrt(e+1) sinh(H/2), sqrt(e-1) cosh(H/2))

3.3 Parabel und nahezu parabolischer Grenzbereich
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    Gültigkeit: |e - 1| <= 1e-8
    s = sqrt(2 q^3 / μ⊙)
    B = Δ / s
    D = 2 sinh(asinh(1.5 B) / 3)
    ν = 2 atan D

Die Barker-Form verhindert die numerisch schlechte Division durch 1−e oder e−1
im unmittelbaren Parabelbereich. Anschließend gelten für alle drei Fälle:

    p = q (1 + e)
    r = p / (1 + e cos ν)
    v0 = sqrt(μ⊙ / p)
    r_orb = [r cos ν, r sin ν, 0]
    v_orb = [-v0 sin ν, v0 (e + cos ν), 0]

Die Drehung aus der Bahnebene verwendet Rz(Ω) Rx(i) Rz(ω). Der ausgeschriebene
zweidimensionale Eingang [x,y] wird zu:

    X = (cosΩ cosω - sinΩ sinω cosi) x + (-cosΩ sinω - sinΩ cosω cosi) y
    Y = (sinΩ cosω + cosΩ sinω cosi) x + (-sinΩ sinω + cosΩ cosω cosi) y
    Z = (sinω sini) x + (cosω sini) y

Die feste Ekliptik-nach-Äquator-Rotation ist eine x-Achsenrotation um 84381.448
Bogensekunden und wird identisch auf Position und Geschwindigkeit angewandt.

4. Störkörperdaten und Hermite-Interpolation
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Jeder Tabellenknoten enthält Position r0 und Geschwindigkeit v0. Für zwei Knoten
im Abstand h und u=(t−t0)/h interpoliert der Kern mit den folgenden Polynomen.
Eine kubische Hermite-Interpolation übernimmt an beiden Enden Position und
Geschwindigkeit exakt; dies sind die vollständigen Reihen und ihre exakten
numerischen Koeffizienten:

    h00(u) =  2 u^3 - 3 u^2 + 1
    h10(u) =    u^3 - 2 u^2 + u
    h01(u) = -2 u^3 + 3 u^2
    h11(u) =    u^3 -   u^2

    r(u) = h00 r0 + h10 h v0 + h01 r1 + h11 h v1

    dh00/dt = ( 6 u^2 - 6 u) / h
    dh10/dt =   3 u^2 - 4 u + 1
    dh01/dt = (-6 u^2 + 6 u) / h
    dh11/dt =   3 u^2 - 2 u
    v(u) = (dh00/dt) r0 + dh10 v0 + (dh01/dt) r1 + dh11 v1

Spalten: Störkörper | Masse/Sonnenmasse
Zeile: Störkörper=Merkur | Masse/Sonnenmasse=1.660114153054348e-7
Zeile: Störkörper=Venus | Masse/Sonnenmasse=2.447838287784771e-6
Zeile: Störkörper=Mars | Masse/Sonnenmasse=3.227156037554996e-7
Zeile: Störkörper=Jupiter | Masse/Sonnenmasse=9.547919101886966e-4
Zeile: Störkörper=Saturn | Masse/Sonnenmasse=2.858856727222416e-4
Zeile: Störkörper=Uranus | Masse/Sonnenmasse=4.366249662744965e-5
Zeile: Störkörper=Neptun | Masse/Sonnenmasse=5.151383772628673e-5
Zeile: Störkörper=Pluto | Masse/Sonnenmasse=7.350487833457740e-9

Spalten: N16-Körper | Masse/Sonnenmasse
Zeile: N16-Körper=Ceres | Masse/Sonnenmasse=4.719154706681575e-10
Zeile: N16-Körper=Pallas | Masse/Sonnenmasse=1.0297360324108826e-10
Zeile: N16-Körper=Juno | Masse/Sonnenmasse=1.4471670474939703e-11
Zeile: N16-Körper=Vesta | Masse/Sonnenmasse=1.3026875547328177e-10
Zeile: N16-Körper=Iris | Masse/Sonnenmasse=8.589038999387399e-12
Zeile: N16-Körper=Hygiea | Masse/Sonnenmasse=4.238598614896659e-11
Zeile: N16-Körper=Eunomia | Masse/Sonnenmasse=1.5243642468487352e-11
Zeile: N16-Körper=Psyche | Masse/Sonnenmasse=1.1978215785019767e-11
Zeile: N16-Körper=Euphrosyne | Masse/Sonnenmasse=8.133159614634648e-12
Zeile: N16-Körper=Europa | Masse/Sonnenmasse=2.0216913527078825e-11
Zeile: N16-Körper=Cybele | Masse/Sonnenmasse=7.06871003275745e-12
Zeile: N16-Körper=Sylvia | Masse/Sonnenmasse=1.6337820878172953e-11
Zeile: N16-Körper=Thisbe | Masse/Sonnenmasse=8.965306556356798e-12
Zeile: N16-Körper=Camilla | Masse/Sonnenmasse=1.0878696848144257e-11
Zeile: N16-Körper=Davida | Masse/Sonnenmasse=2.9345275747768696e-11
Zeile: N16-Körper=Interamnia | Masse/Sonnenmasse=2.1327387533901138e-11

5. Bewegungsgleichung
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    d/dt [r, v] = [v, a(r,v,t)]

Die solare Grundbeschleunigung ist aS=−μ⊙ r/|r|³. Für einen Störkörper mit
heliozentrischer Position rb und Massenverhältnis ηb wird der direkte und
indirekte Term gemeinsam addiert:

    ab = μ⊙ ηb [(rb - r)/|rb - r|^3 - rb/|rb|^3]

Erde und Mond werden innerhalb 0,2 AE getrennt verwendet, außerhalb als
Erde-Mond-Baryzentrum. Die acht übrigen Körper Merkur, Venus, Mars, Jupiter,
Saturn, Uranus, Neptun und Pluto wirken stets. N16 wird nur bei gesetztem
Schalter und vollständigen Daten ergänzt.

5.1 Relativistische Sonnenkorrektur
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    arel = μ⊙ / (c^2 |r|^3) * [ (4 μ⊙/|r| - |v|^2) r + 4 (r·v) v ]

5.2 Erd-J2
----------

Innerhalb 0,02 AE von der Erde wird die übliche J2-Beschleunigung im erdfesten
Näherungsrahmen des Ports als direkter minus indirekter Term addiert:

    μE = G·ME = 8.887692445125148326e-10 AE^3/Tag^2
    k = 1.5 J2 μE RE^2 / ρ^5
    aJ2,x = k x (5 z^2/ρ^2 - 1)
    aJ2,y = k y (5 z^2/ρ^2 - 1)
    aJ2,z = k z (5 z^2/ρ^2 - 3)

5.3 Nichtgravitative Beschleunigung
-----------------------------------

    g(r) = α (r/r0)^(-m) [1 + (r/r0)^n]^(-k)
    Standard: r0=2.808, α=0.1112620426, m=2.15, n=5.093, k=4.6142
    ang = g(r) [A1 er + A2 et + A3 en]

er ist radial, en liegt normal zur Bahnebene in Richtung r×v, und et=en×er ist
transversal. Sind A1=A2=A3=0, wird exakt der Nullvektor geliefert.

6. Dormand-Prince 5(4)
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Ein eingebettetes Runge-Kutta-Paar erzeugt gleichzeitig eine Lösung fünfter und
vierter Ordnung. Die Differenz schätzt den lokalen Fehler. Eine Butcher-Tafel
ist die tabellarische Sammlung der Stufenzeitpunkte ci, der Zwischengewichte aij
und der Endgewichte bi eines Runge-Kutta-Verfahrens. Sie beschreibt damit den
Integrationsschritt vollständig. Sämtliche im Code verwendeten
Butcher-Koeffizienten sind:

    c2=1/5;       a21=1/5
    c3=3/10;      a31=3/40; a32=9/40
    c4=4/5;       a41=44/45; a42=-56/15; a43=32/9
    c5=8/9;       a51=19372/6561; a52=-25360/2187;
                  a53=64448/6561; a54=-212/729
    c6=1;         a61=9017/3168; a62=-355/33; a63=46732/5247;
                  a64=49/176; a65=-5103/18656
    c7=1;         a71=35/384; a72=0; a73=500/1113;
                  a74=125/192; a75=-2187/6784; a76=11/84

    Ordnung 5: b = [35/384, 0, 500/1113, 125/192,
                    -2187/6784, 11/84, 0]
    Ordnung 4: b*= [5179/57600, 0, 7571/16695, 393/640,
                    -92097/339200, 187/2100, 1/40]

Für jede der sechs Komponenten gilt sc=2e−15+2e−13·max(|yalt|,|yneu|). RMS
bedeutet quadratischer Mittelwert; die normierte RMS-Fehlerzahl ist
sqrt(sum((Fehler/sc)²)/6). Ein Schritt wird bei Fehlerzahl ≤1 oder |h|≤1e−8 Tag
angenommen. Der neue Faktor ist clamp(0.9·Fehlerzahl^(−0.2),0.1,5). clamp
begrenzt den Faktor auf das geschlossene Intervall [0,1;5]; bei Fehlerzahl null
wird 5 verwendet. Die Schrittweite bleibt zwischen 1e−8 und 0,25 Tag. Eine
Integration darf höchstens 1.000.000 Schritte ausführen.

7. Zeitskalen und Beobachter
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Die öffentliche Zeit ist UTC. Für die Dynamik wird näherungsweise
TDB=UTC+(TAI−UTC+32,184 s)/86400 verwendet. Die implementierten
Schaltsekundenstufen lauten:

    JD >= 2457754.5 : TAI-UTC = 37 s
    JD >= 2457204.5 : TAI-UTC = 36 s
    JD >= 2456109.5 : TAI-UTC = 35 s
    JD >= 2454832.5 : TAI-UTC = 34 s
    JD >= 2453736.5 : TAI-UTC = 33 s
    sonst          : TAI-UTC = 32 s

Mit T=(JDUTC−2451545)/36525 wird GMST in Grad berechnet. Die folgenden Polynome
und kurzen trigonometrischen Reihen sind vollständig und enthalten alle im Port
verwendeten Zahlen:

    GMST = 280.46061837 + 360.98564736629 (JD-2451545)
           + 0.000387933 T^2 - T^3/38710000

    L_sun  = 280.4665  + 36000.7698 T              [Grad]
    L_moon = 218.3165  + 481267.8813 T             [Grad]
    Ω_moon = 125.04452 - 1934.136261 T             [Grad]

    Δψ = -17.20 sin Ω_moon -1.32 sin(2 L_sun)
         -0.23 sin(2 L_moon) +0.21 sin(2 Ω_moon)   [Bogensekunden]
    Δε =  9.20 cos Ω_moon +0.57 cos(2 L_sun)
         +0.10 cos(2 L_moon) -0.09 cos(2 Ω_moon)   [Bogensekunden]

    ε0 = 23 + 26/60 + 21.448/3600 Grad
         -(46.8150 T + 0.00059 T^2 - 0.001813 T^3) Bogensekunden

    ζ = 2306.2181 T + 0.30188 T^2 + 0.017998 T^3  [Bogensekunden]
    z = 2306.2181 T + 1.09468 T^2 + 0.018203 T^3  [Bogensekunden]
    θ = 2004.3109 T - 0.42665 T^2 - 0.041833 T^3 [Bogensekunden]

Der geozentrische Standortvektor wird aus MPC-ρ-Faktoren oder geodätischer
Länge, Breite und Höhe gebildet, mit scheinbarer Sternzeit rotiert und über
Nutation sowie Präzession nach J2000 zurückgeführt.

8. Lichtlaufzeit und scheinbare Richtung
========================================

Der Erdzustand und Beobachter werden zur Empfangszeit bestimmt. Für die
Emissionszeit wird höchstens fünfmal iteriert:

    t_emit,0 = t_TDB
    ρk = r_object(t_emit,k) - r_earth(t_TDB) - r_observer(t_UTC)
    t_emit,k+1 = t_TDB - |ρk| * 0.0057755183
    Abbruch: |t_emit,k+1 - t_emit,k| < 1e-12 Tag

    RA  = normalize(atan2(ρy,ρx), 0, 2π)
    Dec = atan2(ρz, sqrt(ρx^2+ρy^2))

9. Binärtabellen
================

Planetenblöcke sind von 2000 bis 2040 in neun überlappende Zeitabschnitte
geteilt und verwenden 0,5 Tag Schrittweite. N16 verwendet ebenfalls neun Blöcke
und exakt 1,9999817474948436 Tage. Die Überlappung erlaubt sichere
Hermite-Interpolation an Abschnittsgrenzen. Alle Werte sind Little-Endian
float64.

Spalten: Datensatz | Zeitraum | Schritt | Inhalt
Zeile: Datensatz=Planeten | Zeitraum=2000–2040 | Schritt=0,5 Tag | Inhalt=11
       Körper: EMB, Erde, Mond, Merkur bis Pluto
Zeile: Datensatz=N16 | Zeitraum=2000–2040 | Schritt=1,9999817474948436 Tage |
       Inhalt=16 massereiche Asteroiden

10. Extrembeispiele
===================

Die nachfolgende Tabelle nennt UTC, eingefrorene JPL-Horizons-Referenz, die
C-Port-Rechnung und den sphärisch genäherten Winkelabstand. Station A68 und
dieselben nominalen Elemente wurden verwendet. Werte sind Grad.

Bahnform und Periheldistanz der sechs Prüffälle.
Spalten: Objekt | Epoche JD | e | q AE
Zeile: Objekt=433 Eros | Epoche JD=2453311.5 | e=0.2228078944584026 | q
       AE=1.133355399799004
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | Epoche JD=2460448.5 | e=1.000095309222603 | q
       AE=0.3914300307809727
Zeile: Objekt=2P Encke | Epoche JD=2459847.5 | e=0.8477496967533629 | q
       AE=0.3379482792219925
Zeile: Objekt=2I Borisov | Epoche JD=2458853.5 | e=3.356475782676596 | q
       AE=2.006520878500843
Zeile: Objekt=99942 Apophis | Epoche JD=2459215.5 | e=0.19152168935010219 | q
       AE=0.74582704784665232
Zeile: Objekt=367943 Duende | Epoche JD=2456158.5 | e=0.10812843436824709 | q
       AE=0.893491631652941

Perihelzeit und Orientierung der Bahnebene.
Spalten: Objekt | Tp TDB | Ω ° | ω ° | i °
Zeile: Objekt=433 Eros | Tp TDB=2453371.5859943051 | Ω °=304.40102733795362 | ω
       °=178.665326776373 | i °=10.8291838260782
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | Tp TDB=2460581.24084083 | Ω °=21.55947863619833 | ω
       °=308.4917712569641 | i °=139.1121095087364
Zeile: Objekt=2P Encke | Tp TDB=2460239.6495185494 | Ω °=334.1935846036774 | ω
       °=187.1342463695676 | i °=11.41227811179314
Zeile: Objekt=2I Borisov | Tp TDB=2458826.052845906 | Ω °=308.1477292269942 | ω
       °=209.1236864378081 | i °=44.05264247909138
Zeile: Objekt=99942 Apophis | Tp TDB=2459101.0394224627 | Ω °=204.0389272089208
       | ω °=126.65205183685531 | i °=3.3367513200667558
Zeile: Objekt=367943 Duende | Tp TDB=2456261.554400227 | Ω °=147.2625010881184 |
       ω °=271.08746874977783 | i °=10.33728752192523

Nichtgravitative Parameter; null bedeutet, dass der jeweilige Term entfällt.
Spalten: Objekt | A1 / A2 / A3
Zeile: Objekt=433 Eros | A1 / A2 / A3=0 / 0 / 0
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | A1 / A2 / A3=1.4218744044776211e-8 /
       1.3486232284695711e-9 / 0
Zeile: Objekt=2P Encke | A1 / A2 / A3=2.34758107815004e-10 /
       -6.540690743894436e-13 / 0
Zeile: Objekt=2I Borisov | A1 / A2 / A3=4.8595882640274848e-8 /
       1.8798986909513609e-8 / 2.8355032201284751e-9
Zeile: Objekt=99942 Apophis | A1 / A2 / A3=5e-13 / -2.9017666371531647e-14 / 0
Zeile: Objekt=367943 Duende | A1 / A2 / A3=0 / 0 / 0

Eingefrorene JPL-Horizons-Referenzpositionen.
Spalten: Objekt | UTC | JPL RA ° | JPL Dec °
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-21 22:00:00 | JPL RA °=188.352878680 | JPL
       Dec °=-15.485731924
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-22 22:00:00 | JPL RA °=189.033073621 | JPL
       Dec °=-15.673602566
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-23 22:00:00 | JPL RA °=189.712493431 | JPL
       Dec °=-15.860306533
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-21 22:00:00 | JPL RA °=270.131469713 | JPL
       Dec °=20.765253967
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-22 22:00:00 | JPL RA °=269.997011490 | JPL
       Dec °=20.710979861
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-23 22:00:00 | JPL RA °=269.864375552 | JPL
       Dec °=20.655473422
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-21 22:00:00 | JPL RA °=22.086326480 | JPL
       Dec °=16.151079557
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-22 22:00:00 | JPL RA °=22.204227929 | JPL
       Dec °=16.258348832
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-23 22:00:00 | JPL RA °=22.318311808 | JPL
       Dec °=16.365096989
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-08 00:00:00 | JPL RA °=171.852537543 |
       JPL Dec °=-17.895950115
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-09 00:00:00 | JPL RA °=172.269466247 |
       JPL Dec °=-18.665188729
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-10 00:00:00 | JPL RA °=172.685173642 |
       JPL Dec °=-19.435471809
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:30:00 | JPL RA °=162.187610650 |
       JPL Dec °=-1.853259832
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:40:00 | JPL RA °=158.279644424 |
       JPL Dec °=0.774049246
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:50:00 | JPL RA °=153.882081064 |
       JPL Dec °=3.710242552
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 21:00:00 | JPL RA °=148.942949743 |
       JPL Dec °=6.944475706
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:15:00 | JPL RA °=180.339825182 |
       JPL Dec °=-21.468034850
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:20:00 | JPL RA °=180.569814701 |
       JPL Dec °=-17.847154119
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:25:00 | JPL RA °=180.799653390 |
       JPL Dec °=-14.126076156
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:30:00 | JPL RA °=181.029779486 |
       JPL Dec °=-10.326525675

Berechnete Positionen und sphärischer Winkelabstand zur Referenz.
Spalten: Objekt | UTC | Kern RA ° | Kern Dec ° | Δ ″
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-21 22:00:00 | Kern RA °=188.352878496 |
       Kern Dec °=-15.485732361 | Δ ″=0.001696
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-22 22:00:00 | Kern RA °=189.033073460 |
       Kern Dec °=-15.673603008 | Δ ″=0.001687
Zeile: Objekt=433 Eros | UTC=2026-07-23 22:00:00 | Kern RA °=189.712493295 |
       Kern Dec °=-15.860306981 | Δ ″=0.001680
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-21 22:00:00 | Kern RA °=270.131471956 |
       Kern Dec °=20.765254400 | Δ ″=0.007710
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-22 22:00:00 | Kern RA °=269.997013729 |
       Kern Dec °=20.710980297 | Δ ″=0.007701
Zeile: Objekt=C/2023 A3 | UTC=2026-07-23 22:00:00 | Kern RA °=269.864377787 |
       Kern Dec °=20.655473860 | Δ ″=0.007693
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-21 22:00:00 | Kern RA °=22.086326254 | Kern
       Dec °=16.151079161 | Δ ″=0.001626
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-22 22:00:00 | Kern RA °=22.204227701 | Kern
       Dec °=16.258348433 | Δ ″=0.001638
Zeile: Objekt=2P Encke | UTC=2026-07-23 22:00:00 | Kern RA °=22.318311578 | Kern
       Dec °=16.365096587 | Δ ″=0.001650
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-08 00:00:00 | Kern RA °=171.852535053 |
       Kern Dec °=-17.895966055 | Δ ″=0.058015
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-09 00:00:00 | Kern RA °=172.269463755 |
       Kern Dec °=-18.665203001 | Δ ″=0.052076
Zeile: Objekt=2I Borisov | UTC=2019-12-10 00:00:00 | Kern RA °=172.685171171 |
       Kern Dec °=-19.435484512 | Δ ″=0.046495
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:30:00 | Kern RA °=162.187667572
       | Kern Dec °=-1.853286529 | Δ ″=0.226242
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:40:00 | Kern RA °=158.279702838
       | Kern Dec °=0.774021995 | Δ ″=0.232031
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 20:50:00 | Kern RA °=153.882138225
       | Kern Dec °=3.710216547 | Δ ″=0.225683
Zeile: Objekt=99942 Apophis | UTC=2029-04-13 21:00:00 | Kern RA °=148.943005706
       | Kern Dec °=6.944451473 | Δ ″=0.218189
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:15:00 | Kern RA °=180.339837945
       | Kern Dec °=-21.468014339 | Δ ″=0.085326
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:20:00 | Kern RA °=180.569829577
       | Kern Dec °=-17.847141796 | Δ ″=0.067577
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:25:00 | Kern RA °=180.799668504
       | Kern Dec °=-14.126072752 | Δ ″=0.054168
Zeile: Objekt=367943 Duende | UTC=2013-02-15 19:30:00 | Kern RA °=181.029797039
       | Kern Dec °=-10.326531491 | Δ ″=0.065598

433 Eros prüft die gewöhnliche Ellipse. C/2023 A3 liegt fast auf der Parabel und
enthält A1/A2. 2P/Encke ist ein periodischer Komet mit Nichtgravitation.
2I/Borisov erzwingt e=3,356475782676596 und A1/A2/A3. Apophis und Duende prüfen
die rasche Richtungsänderung bei dichter Erdpassage.

11. Reproduzierbarkeit und Grenzen
==================================

* Die 1-Bogensekunden-Grenze gilt gegen dieselben eingefrorenen nominalen
  Elemente, nicht gegen eine später aktualisierte Bahnlösung.
* Die kurze Nutations-, Präzessions- und TDB-Näherung ist auf den dokumentierten
  Zeitraum und das angestrebte Genauigkeitsniveau zugeschnitten.
* Schaltsekunden nach der letzten eingebauten Stufe müssen vor Nutzung neuerer
  Epochen ergänzt werden.
* Die Tabellen decken 2000 bis 2040 ab; außerhalb dieses Bereichs ist ein neuer
  Datensatz erforderlich.
* Unsicherheitsellipse und Kovarianzfortpflanzung sind nicht Bestandteil dieses
  reinen Nominalkerns.
* Find_Orb ist kein Laufzeitbestandteil und wird nur privat als zusätzlicher
  lokaler Vergleich verwendet.

Anhang A. Vergleich der Programmiersprachen
===========================================

Alle erfolgreichen Fassungen bestanden dieselben 20 Referenzzeilen. Die
Genauigkeitstabelle ist alphabetisch nach Sprache sortiert. Die getrennte
Geschwindigkeitstabelle ist nach der Medianzeit aufsteigend sortiert, also mit
der schnellsten Fassung zuerst. Die Zeiten beziehen sich auf sechs Fälle, die je
Sprache siebenmal in sprachübergreifend wechselnder Reihenfolge gerechnet
wurden; sie zeigen auf diesem Rechner nur die relative Laufzeit.

A.1 Genauigkeit, alphabetisch
-----------------------------

Maximaler sphärischer Winkelabstand über alle 20 Referenzzeilen.
Spalten: Sprache | Max. Δ ″ | Ergebnis | Quelle B | Paket B | Werkzeug
Zeile: Sprache=Ada | Max. Δ ″=0.223931 | Ergebnis=PASS | Quelle B=65.773 | Paket
       B=520.661 | Werkzeug=GNAT/GCC 15.2.0 (MSYS2)
Zeile: Sprache=B4X | Max. Δ ″=0.232382 | Ergebnis=PASS | Quelle B=63.915 | Paket
       B=550.906 | Werkzeug=B4J 10.50
Zeile: Sprache=Ballerina | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=54.944 |
       Paket B=546.455 | Werkzeug=Ballerina Swan Lake 2201.13.4
Zeile: Sprache=BlitzMax | Max. Δ ″=1.203843 | Ergebnis=PASS | Quelle B=91.196 |
       Paket B=549.418 | Werkzeug=BlitzMax NG 0.154.3.58
Zeile: Sprache=C | Max. Δ ″=0.232031 | Ergebnis=PASS | Quelle B=55.659 | Paket
       B=565.802 | Werkzeug=GCC 16.1.0
Zeile: Sprache=C# | Max. Δ ″=0.232031 | Ergebnis=PASS | Quelle B=50.345 | Paket
       B=545.734 | Werkzeug=.NET SDK 8.0.423
Zeile: Sprache=C++ | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=56.461 | Paket
       B=546.717 | Werkzeug=Microsoft Visual C++ Community
Zeile: Sprache=Clojure | Max. Δ ″=0.235614 | Ergebnis=PASS | Quelle B=45.101 |
       Paket B=486.240 | Werkzeug=Clojure 1.12.5 / OpenJDK
Zeile: Sprache=Common Lisp | Max. Δ ″=0.223203 | Ergebnis=PASS | Quelle B=45.225
       | Paket B=496.773 | Werkzeug=SBCL 2.6.6
Zeile: Sprache=D | Max. Δ ″=0.250215 | Ergebnis=PASS | Quelle B=38.210 | Paket
       B=514.240 | Werkzeug=DMD 2.112.0
Zeile: Sprache=Dart | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=42.668 |
       Paket B=538.284 | Werkzeug=Dart 3.12.2
Zeile: Sprache=Delphi/Object Pascal | Max. Δ ″=0.232316 | Ergebnis=PASS | Quelle
       B=56.636 | Paket B=524.660 | Werkzeug=Free Pascal 3.2.2
Zeile: Sprache=Elixir | Max. Δ ″=0.243787 | Ergebnis=PASS | Quelle B=53.273 |
       Paket B=575.919 | Werkzeug=Elixir 1.20.2 / Erlang OTP 29
Zeile: Sprache=Erlang | Max. Δ ″=0.243787 | Ergebnis=PASS | Quelle B=52.475 |
       Paket B=583.700 | Werkzeug=Erlang/OTP 29.0.3
Zeile: Sprache=F# | Max. Δ ″=0.216606 | Ergebnis=PASS | Quelle B=121.927 | Paket
       B=758.208 | Werkzeug=.NET SDK 8.0.423
Zeile: Sprache=Factor | Max. Δ ″=51.049773 | Ergebnis=PASS | Quelle B=43.312 |
       Paket B=493.140 | Werkzeug=Factor 0.101
Zeile: Sprache=Fantom | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=54.847 |
       Paket B=549.148 | Werkzeug=Fantom 1.0.83
Zeile: Sprache=Fortran | Max. Δ ″=0.226948 | Ergebnis=PASS | Quelle B=51.037 |
       Paket B=495.006 | Werkzeug=GNU Fortran 16.1.0
Zeile: Sprache=FreeBASIC | Max. Δ ″=0.252308 | Ergebnis=PASS | Quelle B=66.512 |
       Paket B=580.763 | Werkzeug=FreeBASIC 1.10.1
Zeile: Sprache=GNU Octave | Max. Δ ″=38.034360 | Ergebnis=PASS | Quelle B=35.427
       | Paket B=503.786 | Werkzeug=GNU Octave 11.3.0
Zeile: Sprache=Go | Max. Δ ″=0.239381 | Ergebnis=PASS | Quelle B=39.667 | Paket
       B=526.531 | Werkzeug=Go 1.26.5
Zeile: Sprache=Groovy | Max. Δ ″=2.810988 | Ergebnis=PASS | Quelle B=47.731 |
       Paket B=586.421 | Werkzeug=Apache Groovy 5.0.2 / OpenJDK
Zeile: Sprache=Haskell | Max. Δ ″=0.259614 | Ergebnis=PASS | Quelle B=44.580 |
       Paket B=498.045 | Werkzeug=GHC 9.10.3
Zeile: Sprache=Haxe | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=46.913 |
       Paket B=533.441 | Werkzeug=Haxe 4.3.7
Zeile: Sprache=Java | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=46.825 |
       Paket B=548.599 | Werkzeug=Microsoft OpenJDK 25.0.3
Zeile: Sprache=JavaScript | Max. Δ ″=0.236219 | Ergebnis=PASS | Quelle B=107.767
       | Paket B=592.039 | Werkzeug=Node.js 24.15.0 / Browser ES Modules
Zeile: Sprache=Julia | Max. Δ ″=0.229764 | Ergebnis=PASS | Quelle B=30.958 |
       Paket B=477.282 | Werkzeug=Julia 1.12.6
Zeile: Sprache=Kotlin | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=39.887 |
       Paket B=505.280 | Werkzeug=Kotlin 2.4.10 / OpenJDK
Zeile: Sprache=Lua | Max. Δ ″=0.216606 | Ergebnis=PASS | Quelle B=41.719 | Paket
       B=521.245 | Werkzeug=Lua 5.4
Zeile: Sprache=Nim | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=38.024 | Paket
       B=520.143 | Werkzeug=Nim 2.2.10
Zeile: Sprache=OCaml | Max. Δ ″=0.232382 | Ergebnis=PASS | Quelle B=119.362 |
       Paket B=724.314 | Werkzeug=OCaml 5.4.0
Zeile: Sprache=Perl | Max. Δ ″=0.236719 | Ergebnis=PASS | Quelle B=43.107 |
       Paket B=469.668 | Werkzeug=Perl 5
Zeile: Sprache=PHP | Max. Δ ″=0.232031 | Ergebnis=PASS | Quelle B=33.017 | Paket
       B=516.442 | Werkzeug=PHP 8.3.30 CLI
Zeile: Sprache=PowerShell | Max. Δ ″=37.997961 | Ergebnis=PASS | Quelle B=49.973
       | Paket B=470.165 | Werkzeug=PowerShell 7.6.4
Zeile: Sprache=Prolog | Max. Δ ″=38.032226 | Ergebnis=PASS | Quelle B=55.733 |
       Paket B=632.243 | Werkzeug=SWI-Prolog 10.0.2
Zeile: Sprache=Python | Max. Δ ″=0.082129 | Ergebnis=PASS | Quelle B=218.903 |
       Paket B=787.360 | Werkzeug=Python 3.11.9
Zeile: Sprache=R | Max. Δ ″=0.231526 | Ergebnis=PASS | Quelle B=33.980 | Paket
       B=506.812 | Werkzeug=R 4.6.1
Zeile: Sprache=Racket | Max. Δ ″=0.218560 | Ergebnis=PASS | Quelle B=44.652 |
       Paket B=482.854 | Werkzeug=Racket 9.2
Zeile: Sprache=Ruby | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=37.165 |
       Paket B=506.816 | Werkzeug=Ruby 3.4
Zeile: Sprache=Rust | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=49.635 |
       Paket B=541.242 | Werkzeug=rustc 1.94.1
Zeile: Sprache=Scala | Max. Δ ″=0.238317 | Ergebnis=PASS | Quelle B=43.107 |
       Paket B=499.504 | Werkzeug=Scala CLI 1.15.0 / OpenJDK
Zeile: Sprache=Smalltalk | Max. Δ ″=42.792737 | Ergebnis=PASS | Quelle B=34.747
       | Paket B=422.800 | Werkzeug=Pharo 12
Zeile: Sprache=Squirrel | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=44.919 |
       Paket B=530.616 | Werkzeug=Squirrel 3 with float64 build
Zeile: Sprache=Tcl | Max. Δ ″=0.232382 | Ergebnis=PASS | Quelle B=47.620 | Paket
       B=468.744 | Werkzeug=Tcl 8.6
Zeile: Sprache=TypeScript + WebAssembly | Max. Δ ″=0.239511 | Ergebnis=PASS |
       Quelle B=57.170 | Paket B=555.531 | Werkzeug=TypeScript 7.0.2, Rust WASI,
       Node.js 24.15.0
Zeile: Sprache=V | Max. Δ ″=0.236584 | Ergebnis=PASS | Quelle B=40.341 | Paket
       B=507.133 | Werkzeug=V 0.4
Zeile: Sprache=Vala/Genie | Max. Δ ″=0.228185 | Ergebnis=PASS | Quelle B=74.030
       | Paket B=589.922 | Werkzeug=Vala 0.56
Zeile: Sprache=Visual Basic .NET | Max. Δ ″=0.232031 | Ergebnis=PASS | Quelle
       B=102.111 | Paket B=650.099 | Werkzeug=.NET SDK 8.0.423
Zeile: Sprache=Zig | Max. Δ ″=0.239824 | Ergebnis=PASS | Quelle B=44.555 | Paket
       B=524.110 | Werkzeug=Zig 0.16.0

A.2 Geschwindigkeit, schnellste zuerst
--------------------------------------

Der Faktor 1,000 bezeichnet die schnellste Medianzeit des Prüflaufs.
Spalten: Rang | Sprache | Minimum ms | Median ms | Maximum ms | Faktor
Zeile: Rang=1 | Sprache=TypeScript + WebAssembly | Minimum ms=597.377 | Median
       ms=700.999 | Maximum ms=1047.449 | Faktor=1.000
Zeile: Rang=2 | Sprache=Fortran | Minimum ms=596.688 | Median ms=750.360 |
       Maximum ms=1158.344 | Faktor=1.070
Zeile: Rang=3 | Sprache=Rust | Minimum ms=523.705 | Median ms=823.898 | Maximum
       ms=1294.582 | Faktor=1.175
Zeile: Rang=4 | Sprache=B4X | Minimum ms=775.000 | Median ms=971.000 | Maximum
       ms=2194.000 | Faktor=1.385
Zeile: Rang=5 | Sprache=Haxe | Minimum ms=39.747 | Median ms=1077.578 | Maximum
       ms=2013.806 | Faktor=1.537
Zeile: Rang=6 | Sprache=Delphi/Object Pascal | Minimum ms=937.000 | Median
       ms=1078.000 | Maximum ms=1672.000 | Faktor=1.538
Zeile: Rang=7 | Sprache=Zig | Minimum ms=1035.454 | Median ms=1160.447 | Maximum
       ms=2320.055 | Faktor=1.655
Zeile: Rang=8 | Sprache=C++ | Minimum ms=1223.592 | Median ms=1441.870 | Maximum
       ms=2671.024 | Faktor=2.057
Zeile: Rang=9 | Sprache=Java | Minimum ms=1284.711 | Median ms=1458.187 |
       Maximum ms=3353.160 | Faktor=2.080
Zeile: Rang=10 | Sprache=C | Minimum ms=1343.938 | Median ms=1486.065 | Maximum
       ms=3056.110 | Faktor=2.120
Zeile: Rang=11 | Sprache=Kotlin | Minimum ms=1176.612 | Median ms=1593.443 |
       Maximum ms=5530.074 | Faktor=2.273
Zeile: Rang=12 | Sprache=Ada | Minimum ms=1460.014 | Median ms=1640.974 |
       Maximum ms=3057.029 | Faktor=2.341
Zeile: Rang=13 | Sprache=V | Minimum ms=1575.736 | Median ms=1878.741 | Maximum
       ms=2571.347 | Faktor=2.680
Zeile: Rang=14 | Sprache=D | Minimum ms=1546.526 | Median ms=1890.757 | Maximum
       ms=4220.870 | Faktor=2.697
Zeile: Rang=15 | Sprache=Go | Minimum ms=1468.523 | Median ms=2141.171 | Maximum
       ms=9256.961 | Faktor=3.054
Zeile: Rang=16 | Sprache=Visual Basic .NET | Minimum ms=1696.939 | Median
       ms=2216.958 | Maximum ms=3742.810 | Faktor=3.163
Zeile: Rang=17 | Sprache=F# | Minimum ms=1783.725 | Median ms=2231.113 | Maximum
       ms=3564.241 | Faktor=3.183
Zeile: Rang=18 | Sprache=Nim | Minimum ms=2119.599 | Median ms=2326.564 |
       Maximum ms=5060.611 | Faktor=3.319
Zeile: Rang=19 | Sprache=C# | Minimum ms=2374.419 | Median ms=2552.401 | Maximum
       ms=6731.288 | Faktor=3.641
Zeile: Rang=20 | Sprache=Dart | Minimum ms=2190.595 | Median ms=2733.704 |
       Maximum ms=5027.791 | Faktor=3.900
Zeile: Rang=21 | Sprache=Scala | Minimum ms=2073.900 | Median ms=3242.849 |
       Maximum ms=7436.041 | Faktor=4.626
Zeile: Rang=22 | Sprache=OCaml | Minimum ms=2669.212 | Median ms=3467.746 |
       Maximum ms=8892.401 | Faktor=4.947
Zeile: Rang=23 | Sprache=FreeBASIC | Minimum ms=2767.911 | Median ms=3570.477 |
       Maximum ms=5810.864 | Faktor=5.093
Zeile: Rang=24 | Sprache=Julia | Minimum ms=3434.719 | Median ms=4304.078 |
       Maximum ms=8335.834 | Faktor=6.140
Zeile: Rang=25 | Sprache=Fantom | Minimum ms=4241.671 | Median ms=5794.304 |
       Maximum ms=8545.390 | Faktor=8.266
Zeile: Rang=26 | Sprache=Vala/Genie | Minimum ms=4412.042 | Median ms=5820.308 |
       Maximum ms=8666.353 | Faktor=8.303
Zeile: Rang=27 | Sprache=Haskell | Minimum ms=6047.352 | Median ms=8690.853 |
       Maximum ms=14693.710 | Faktor=12.398
Zeile: Rang=28 | Sprache=BlitzMax | Minimum ms=7899.000 | Median ms=8742.000 |
       Maximum ms=12931.000 | Faktor=12.471
Zeile: Rang=29 | Sprache=JavaScript | Minimum ms=7724.900 | Median ms=10157.720
       | Maximum ms=23217.210 | Faktor=14.490
Zeile: Rang=30 | Sprache=Common Lisp | Minimum ms=11056.269 | Median
       ms=14392.095 | Maximum ms=22933.360 | Faktor=20.531
Zeile: Rang=31 | Sprache=Ballerina | Minimum ms=12341.616 | Median ms=16894.464
       | Maximum ms=33663.612 | Faktor=24.101
Zeile: Rang=32 | Sprache=Racket | Minimum ms=16694.584 | Median ms=21229.729 |
       Maximum ms=44060.672 | Faktor=30.285
Zeile: Rang=33 | Sprache=Erlang | Minimum ms=19354.829 | Median ms=24802.406 |
       Maximum ms=45274.726 | Faktor=35.381
Zeile: Rang=34 | Sprache=Elixir | Minimum ms=23434.035 | Median ms=29699.584 |
       Maximum ms=53299.712 | Faktor=42.367
Zeile: Rang=35 | Sprache=PHP | Minimum ms=41451.985 | Median ms=49798.621 |
       Maximum ms=104949.488 | Faktor=71.039
Zeile: Rang=36 | Sprache=Prolog | Minimum ms=49043.000 | Median ms=69317.000 |
       Maximum ms=255244.000 | Faktor=98.883
Zeile: Rang=37 | Sprache=Lua | Minimum ms=53249.000 | Median ms=69977.000 |
       Maximum ms=130427.000 | Faktor=99.825
Zeile: Rang=38 | Sprache=Squirrel | Minimum ms=55843.000 | Median ms=71891.000 |
       Maximum ms=119351.000 | Faktor=102.555
Zeile: Rang=39 | Sprache=Clojure | Minimum ms=55241.707 | Median ms=72206.563 |
       Maximum ms=171065.047 | Faktor=103.005
Zeile: Rang=40 | Sprache=Ruby | Minimum ms=66049.112 | Median ms=90263.925 |
       Maximum ms=168102.051 | Faktor=128.765
Zeile: Rang=41 | Sprache=Factor | Minimum ms=70004.415 | Median ms=94462.332 |
       Maximum ms=151220.285 | Faktor=134.754
Zeile: Rang=42 | Sprache=Smalltalk | Minimum ms=65113.000 | Median ms=95089.000
       | Maximum ms=157550.000 | Faktor=135.648
Zeile: Rang=43 | Sprache=Groovy | Minimum ms=68129.578 | Median ms=95282.139 |
       Maximum ms=143061.528 | Faktor=135.923
Zeile: Rang=44 | Sprache=Python | Minimum ms=74058.281 | Median ms=138890.584 |
       Maximum ms=308314.450 | Faktor=198.132
Zeile: Rang=45 | Sprache=Perl | Minimum ms=108115.457 | Median ms=154930.755 |
       Maximum ms=276448.215 | Faktor=221.014
Zeile: Rang=46 | Sprache=PowerShell | Minimum ms=206315.845 | Median
       ms=250942.054 | Maximum ms=717706.460 | Faktor=357.978
Zeile: Rang=47 | Sprache=Tcl | Minimum ms=202078.602 | Median ms=265143.768 |
       Maximum ms=494701.078 | Faktor=378.237
Zeile: Rang=48 | Sprache=R | Minimum ms=168780.000 | Median ms=343730.000 |
       Maximum ms=910730.000 | Faktor=490.343
Zeile: Rang=49 | Sprache=GNU Octave | Minimum ms=315324.607 | Median
       ms=419255.178 | Maximum ms=922894.954 | Faktor=598.082

Anhang B. Lizenzabgrenzung
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Der projektgeschriebene Rechenkern und die zugehörigen Generatoren und Hilfen
stehen, soweit LICENSE-SCOPE.md sie erfasst, unter Apache License 2.0.
Datentabellen, externe Ephemeriden, JPL-Kernel und Drittprogramme sind getrennt
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